Приложения степенных рядов

Рядом Тейлора для функции f(x) в округи точки именуется степенной ряд относительно бинома (x- ) вида

При =0 ряд Тейлора есть степенной ряд относительно переменной х:

который именуется рядом Маклорена.

Ряд Тейлора можно записать для хоть какой функции f(x), которая в округи точки имеет производные хоть какого порядка. Но этот ряд представляет данную Приложения степенных рядов функцию f(x) только тогда, когда остаточный член ряда будет стремиться к нулю.

При решении многих задач рекомендуется воспользоваться последующими разложениями простых функций:

Пример 9. Разложить функцию в ряд Маклорена, используя разложения простых функций.

а)

Ряд сходится к данной функции при всех значениях х.

б) sin2x

sin2x =

Ряд сходится Приложения степенных рядов при всех значениях х.

в) ln(3+x)

Преобразуем аргумент функции.

ln(3+x)= .

Воспользуемся разложением функции ln(1+t), полагая t=x/3

ln(3+x)=ln3 +

Потому что разложение ln(1+t) имеет место при |t|<1, то данное разложение будет иметь место при |x/3|<1, другими словами |x|<3

Пример 10. Пользуясь надлежащими рядами, вычислить Приложения степенных рядов с точностью до 0,0001.

а)

=

Применим биномиальный ряд, полагая х=1/16, m=1/4:

Чтоб найти, сколько взять первых членов этого знакочередующегося ряда для вычисления с точностью до 0,0001, вычислим

=1;

Ошибка искомого приближенного значения корня будет меньше 0,0001.Означает

» 2(1+0,01562-0,00037) 2,0305.

б) .

Потому что

,

то =

=

5-ый член этого знакочередующегося ряда меньше 0,0001. Потому для вычисления искомого приближенного значения довольно взять Приложения степенных рядов сумму первых 4 первых членов ряда, т.е.

6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ дифференциальных уравнений

При помощи рядов

Пусть требуется отыскать решение уравнения

y' = f(x, y), (1)

удовлетворяющее исходному условию y(x0)=y0. Будем находить решение уравнения в виде:

y= y(x0)+ (2)

Свободный член y(x0) этого разложения известен: он равен y0. Подставив в (1) значение x=x0, найдем Приложения степенных рядов и y'(x0)= f(x0, y0).

Дальше, дифференцируя (1), получаем

y''=fx'(x, y)+fy'(x, y)y', (3)

откуда находим y''(x0).

Аналогично этому, дифференцируя (3), найдем y'''(x0) и т.д.

Пример 11. Представить решение уравнения в виде первых 6 членов ряда

y'=x-y2, (4)

удовлетворяющее исходному условию y(1)=1.

Поочередно дифференцируя равенство (4), находим

y''=1- y Приложения степенных рядов' 2y,

y'''=-2(y')2-2yy'',

y(4)=-6y'y''-2yy'',

y(5)=-6(y'')2-8y'y'''-2yy(4),

y(6)= -20y''y'''-10y'y(4)-2yy(5),

Отсюда из (4) получаем

y'(1)=0, y''(1)=1, y'''(1)=-2, y(4)=4, y(5)=-14, y(6)=68.

Означает,

y=1+

Ряды Фурье

Рядом Фурье для функции f(x) в интервале именуется тригонометрический ряд вида:

+ ,

если его коэффициенты an и bn рассчитываются Приложения степенных рядов по формулам Фурье:

an = dx, n = 0,1,2, ...

bn = dx, n = 1,2, ...

Если в интервале функция f(x) имеет конечное число точек разрыва первого рода (либо непрерывна) и конечное число точек экстремума (либо не имеет их совсем), то ее ряд Фурье сходится, т.е. имеет сумму S(x) во всех точках этого Приложения степенных рядов интервала.

При всем этом:

а) в точках непрерывности функции f(x) он сходится к самой функции, S(x)=f(x);

б) в каждой точке разрыва функции – к полусумме однобоких пределов функции слева и справа.

Если функция четная, т.е. f(x)=f(-x), все коэффициенты bn = 0 и ряд Приложения степенных рядов имеет вид:

f(x)= + ,

= cos dx, n=0,1,2, ...

Если функция нечетная, т.е. f(x)=-f(-x), все коэффициенты = 0, и ряд имеет вид:

f(x) = , = dx, n=1,2,3, ...

Замечания.

1. Функция, данная в интервале [0; ], может быть разложена зависимо от требований или исключительно в ряд косинусов, или исключительно в ряд синусов. Для этого Приложения степенных рядов она должна быть продолжена в интервале [- ; 0] или как четная, или как нечетная.

2. Если функция f(x) задана несколькими разными формулами на различных частях интервала , то при вычислении интегралов для коэффициентов ряда, следует разбить интервал интегрирования точками, в каких изменяется аналитическое выражение функции, на части и потом вычислять обозначенные интегралы как Приложения степенных рядов сумму интегралов по составляющим частям.

Пример 12. Разложить в ряд Фурье данную функцию в интервале

а) f(x) = , 0

Так как интервал (0,4) не симметричен относительно нуля и имеет длину, равную 4, то формулы для коэффициентов Фурье принимают вид:

= = cos dx,

= sin dx.

Вычислим интегралы

= = =2

= dx = x = u, du = dx, dv = cos Приложения степенных рядов dx, V = sin =

= = = 0

= sin dx = x = u, du = dx, dv = sin dx, V = cos =

= = =

как следует,

= 1 + =

Это разложение справедливо, т.е. приобретенный ряд сходится к данной функции во всех точках ее области определения 0

Набросок. График суммы ряда

б) f(x)=xsin(x), 0

Функция, разлагаемая в ряд по косинусам, должна быть четная. Как следует, необходимо выстроить ее четное продолжение в интервале
(-p,0) . Тогда bn = 0.

= sin xdx = , du = dx, sin xdx = dV, V Приложения степенных рядов = =

= + = = 2

= =

=

= =

=

= = =

= = = ,

При n=1

= = =

= = .

Как следует, = . Это разложение данной повторяющейся и везде непрерывной функции справедливо при любом значении x, т.е. приобретенный ряд Фурье сходится к данной функции на всей числовой оси.

Варианты личных заданий

1. Отыскать и члены ряда

1.1. 3+ 1.16. +…
1.2. 1.17.
1.3. 1.18.
1.4. +… 1.19.
1.5. 1.20.
1.6. +… 1.21.
1.7. 1.22.
1.8. 1.23.
1.9. 1.24.
1.10. 1.25.
1.11. 1.26.
1.12. +… 1.27.
1.13. 1.28.
1.14. 1.29.
1.15. 1.30. +…


2. Отыскать сумму ряда

2.1. 2.10.
2.2. 2.11.
2.3. 2.12.
2.4. 2.13.
2.5. 2.14.
2.6. 2.15.
2.7. 2.16.
2.8. 2.17.
2.9. 2.18.
2.19. 2.25.
2.20. 2.26.
2.21. 2.27.
2.22. 2.28.
2.23. 2.29.
2.24. 2.30.

3. Можно ли решить вопрос о сходимости ряда при помощи нужного Приложения степенных рядов признака?

3.1. a) b)
3.2. a) b)
3.3. a) b)
3.4. a) b)
3.5. a) b)
3.6. a) b)
3.7. a) b)
3.8. a) b)
3.9 a) b)
3.10. a) b)
3.11. a) b)
3.12. a) b)
3.13. a) b)
3.14. a) b)
3.15. a) b)
3.16. a) b)
3.17. a) b)
3.18. a) b)
3.19. a) b)
3.20. a) b)
3.21. a) b)
3.22. a) b)
3.23. a) b)
3.24. a) b)
3.25. a Приложения степенных рядов) b)
3.26. a) b)
3.27. a) b)
3.28. a) b)
3.29. a) b)
3.30. a) b)

4. Изучить ряды на сходимость

4.1.
a) б) в) г)
4.2.
a) б) в) г)
4.3.
a) б) в) г)
4.4.
a) б) в) г)
4.5.
a) б) в) г)
4.6.
a) б) в) г)
4.7.
a) б) в) г)
4.8.
a) б) в) г)
4.9.
a) б Приложения степенных рядов) в) г)
4.10.
a) б) в) г)

4.11.
a) б) в) г)
4.12.
a) б) в) г)
4.13.
a) б) в) г)
4.14.
a) б) в) г)
4.15.
a) б) в) г)
4.16
a) б) в) г)
4.17.
a) б) в) г)
4.18.
a) б) в) г)
4.19.
a) б) в) г)
4.20.
a) б) в) г)

4.21
a) б) в) г Приложения степенных рядов)
4.22.
a) б) в) г)
4.23.
a) б) в) г)
4.24.
a) б) в) г)
4.25.
a) б) в) г)
4.26.
a) б) в) г)
4.27.
a) б) в) г)
4.28.
a) б) в) г)
4.29.
a) б) в) г)
4.30
a) б) в) г)

5. Узнать, сходится ряд полностью либо условно

5.1. a) b) 5.13 a) b)
5.2. a) b Приложения степенных рядов) 5.14. a) b)
5.3. a) b) 5.15. a) b)
5.4. a) b) 5.16. a) b)
5.5. a) b) 5.17. a) b)
5.6. a) b) 5.18. a) b)
5.7. a) b) 5.19. a) b)
5.8. a) b) 5.20. a) b)
5.9. a) b) 5.21. a) b)
5.10. a) b) 5.24. a) b)
5.11. a) b) 5.25. a) b)
5.12. a) b) 5.26. a) b)
5.27. a) b) 5.29. a) b)
5.28. a) b) 5.30. a) b)

6. Найти Приложения степенных рядов интервал сходимости ряда и изучить сходимость на концах интервала


primechanie-19-kreditorskaya-zadolzhennost-i-nachisleniya-ezhekvartalnij-otchet-otkritoe-akcionernoe-obshestvo-inter.html
primechanie-2-osnovnie-principi-buhgalterskogo-ucheta-generalnaya-assambleya-vois-sorok-pervaya-20-ya-vneocherednaya.html
primechanie-21-zadolzhennost-po-uplate-nalogov-ezhekvartalnij-otchet-otkritoe-akcionernoe-obshestvo-inter-rao-ees.html