Приложение производной к исследованию функции

Приложение производной к исследованию функции

И построению ее графика

Способы дифференциального исчисления позволяют изучить функции и строить их графики. Так, по знаку первой производной в интервале можно найти возрастание (убывание) функции, делать выводы о наличии либо отсутствии экстремума функции. По знаку 2-ой производной выделяем интервалы неровности (вогнутости) графика функции и точки перегиба ее графика.

Справедливы последующие Приложение производной к исследованию функции аксиомы:

1. Если функция дифференцируема на интервале и для , то эта функция увеличивается (убывает) на интервале .

2. Если дифференцируемая функция = имеет экстремум в точке х , то ее производная в этой точке равна нулю: .

3. Если непрерывная функция = дифференцируема в некой -окрестности критичной точки х и при переходе через нее (слева вправо) производная Приложение производной к исследованию функции меняет символ с плюса на минус, то х - точка максимума; с минуса на плюс, то х - точка минимума.

4. Если функция = во всех точках интервала имеет отрицательную вторую производную, то график функции в этом интервале выпуклый верх; если , то график выпуклый вниз.

5. Если 2-ая производная при переходе через точку Приложение производной к исследованию функции х , в какой она равна нулю либо не существует, меняет символ, то точка графика с абсциссой х - точка перегиба.

Построение графика функции существенно облегчается, если известны его асимптоты.

Различают 2 вида асимптот:

а) Вертикальные, имеющиеся в точках разрыва второго рода. Их уравнения имеют вид .

б) Наклонные: , где

, .

А именно, при наклонная асимптота становится горизонтальной Приложение производной к исследованию функции и имеет уравнение .

При исследовании функции и построении ее графика полезно пользоваться последующей схемой:

1. Отыскать область определения функции.

2. Отыскать точки скрещения графика с осями координат, если это может быть.

3. Отыскать асимптоты графика функции.

4. Отыскать интервалы монотонности и точки экстремума функции.

5. Отыскать интервалы неровности и вогнутости и точки перегиба Приложение производной к исследованию функции графика функции.

На основании приобретенного исследования выстроить график.

Пример 7 Изучить функцию и выстроить ее график:

.

Решение.

1. Область определения.

.

2. Асимптоты графика:

а) вертикальная

б) наклонная , где

.

3. Найдем производную функции.

; ; .

.

Определим символ производной в промежутках:

( ) -2 -2, 4 (4, 10) (10, + )
+ - не сущ. +
max min

4. Найдем вторую производную функции.

( ) (4, + )
- не сущ. +

Точек перегиба графика функции нет.

По результатам Приложение производной к исследованию функции исследования построим график функции.

Вопросы для самопроверки

1. Каковы признаки возрастания и убывания функции?

2. Что именуется экстремумом функции?

3. Сформулируйте нужные и достаточные признаки существования экстремума функции.

4. Как отыскать интервалы неровности и вогнутости кривой и точки перегиба графика функции?

5. Что именуется асимптотой кривой?

6. Каких видов бывают асимптоты графика функции и как Приложение производной к исследованию функции их отыскать?

Неопределенный интеграл

Функция именуется первообразной функции если Огромное количество первообразных функции именуется неопределенным интегралом и обозначается .

Операции дифференцирования и интегрирования взаимнообратны:

,

потому несложно получить последующую таблицу интегралов:

1) ( ), 7) ,

2) , 8) ,

3) , 9) ,

4) , 10) ,

5) , 11) ,

6) , 12) .

Не останавливаясь на конкретном интегрировании по формулам, как на простом методе решения примеров, перейдём сходу к более сложным способам.


prilozhenie-struktura-opredeleniya-programmnih-prioritetov-na-chetirehletnij-period-2014-2018-godov.html
prilozhenie-tarifi-ceni-na-elektricheskuyu-energiyu-na-2013-god-dlya-naseleniya-moskovskoj-oblasti.html
prilozhenie-teoreticheskie-i-metodologicheskie-osnovi-ocenki-6.html